|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Hoe teken ik een vlieger als volgt?
Every 4-th Fibonacci number is a multiple of 3 i.e. a multiple of F(4)
Elke vierde Fibonacci nummer is een veelvoud van 3. Ik heb dit op een van jullie links gevonden wat is het bewijs hiervan?
Antwoord
Beste Maikel,
We maken de Fibonacci-rij modulo 3. Dat wil zeggen dat we alleen de resten opschrijven bij deling door drie. Dus in plaats van 17 bijvoorbeeld schrijven we 2, want 17/3 = 5 rest 2. Je gooit als het waren steeds de drievouden weg. We doen zoiets ook in klokrekenen - maar dan modulo 12: als het 11 uur is, dan is het twee uur later 1 uur.
Het leuke is dat optelling behouden blijft. Als a+b=c, dan voldoen ook de resten a', b' en c' aan a'+b'=c' modulo 3. Bijvoorbeeld 17+17 = 34 wordt in resten 2+2=1, en dat laatste klopt modulo 3.
Als we dat doen, krijgen we
1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 ...
Dat de herhaling zich oneindig voortzet kunnen we nu aantonen doordat de optelling modulo 3 gewoon doorgaat. Dus op 1 1 in de Fibonacci-rij modulo 3 volgt altijd 2, op 1 2 altijd 0 enz.
Op het moment dat je voor de tweede keer 1 1 tegenkomt weet je dat het stukje van 1 1 2 0 zich telkens zal herhalen.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
